Question

【题目】设函数．

（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最小值为；（II）

【解析】试题分析： 在上为减函数，等价于在上恒成立，进而转化为，根据二次函数的性质可得

命题“若存在, ，使成立”等价于

“当时，有 ”， 由易求，从而问题等价于“当时，有”，分 , 两种情况讨论:

当是易求，当时可求得的值域为，再按

两种情况讨论即可

解析：（1）由已知得，

因在上为减函数，故在上恒成立。

所以当时。

又，

故当时，即时， .

所以，于是，故的最小值为.

（2）命题“若存在, ，使成立”等价于

“当时，” ”，

由（1），当时， ， .

问题等价于：“当时，有”.

当，由（1），在为减函数，

则，故.

当时，由于在上的值域为

（i），即， 在恒成立，故在上为增函数，

于是， ，矛盾。

（ii），即，由的单调性和值域知，

存在唯一，使，且满足：

当时， ， 为减函数；当时， ， 为增函数；

所以， ，

所以， ，与矛盾。

综上得