Question

第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

已知点为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程为.

（1）求双曲线的方程；

（2）过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点，中点为，

求证：；

（3）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别是和，求的值

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）见解析；（3）

【解析】本试题主要考查了双曲线的运用。

解：（1）设的坐标分别为----------------1分

因为点M在双曲线C上，所以，即，所以------2分

在中，，，所以-------3分

由双曲线的定义可知：

     故双曲线C的方程为：-------------------4分

（2）①当切线l的斜率存在

设，切线的方程为：

代入双曲线C中，化简得： 

所以-------------------6分

因为直线l与圆O相切，所以，代入上式，得-----------7分

设点M的坐标为，则

所以-------------------8分

即|AB|=2|OM|成立

②当切线l的斜率不存在时，

，

即|AB|=2|OM|成立-------------------10分

（1） 由条件可知：两条渐近线分别为

------11分

设双曲线C上的点P(x₀,y₀)，

则点P到两条渐近线的距离分别为--------------13分

因为P(x₀,y₀)，在双曲线C：上，所以

故-------------------14分

设 -------------15分

-----16分