Question

【题目】函数f（x）= ，直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为a，b，c，d，有以下四个结论 ①m∈[3，4）
②abcd∈[0，e4）
③a+b+c+d∈
④若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一．
则其中正确的结论是（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）= ，∴函数f（x）的图象如下
若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故①正确
四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b是x2+2x+m﹣3=0
的两根，∴a+b=﹣2，ab=m﹣3，∴ab∈[0，1），且lnc=2﹣m，lnd=2+m，∴ln（cd）=4∴cd=e4 ，
∴abcd∈[0，e4），∴②是正确的．
由2﹣lnx=4得x= ，由2﹣lnx=3得x= ，∴c∈（ ， ]，又∵cd=e4 ，
∴a+b+c+d=c+ ﹣2在（ ， ]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e5+ ﹣2，e6+ ﹣2）；
∴③是正确的
若关于x的方程f（x）+x=m恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=﹣x+m有三个不同的交点，
而直线y=﹣x+3 与y=﹣x+ 均与y=f（x）有三个交点，∴m不唯一．∴④是不正确的
故选A
【考点精析】掌握命题的真假判断与应用是解答本题的根本，需要知道两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．