Question

数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=λa_n+2ⁿ（n∈N^*），λ为非零常数
（1）是否存在实数λ，使得数列{a_n}成为等差数列或者成为等比数列，若存在则找出所有的λ，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；
（2）当λ=1时，记b_n=a_n+×2ⁿ，证明数列{b_n}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

解：（1））a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4（1分）
①若数列{a_n}为等}为等差数列，则得λ²-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数λ，（3分）
②若数列{a_n}为等比数列得（2+2λ）²=2（2λ²+2λ+4），解得λ=1
则a_n+1=a_n+2ⁿ
a₂-a₁=2
a₃-a₂=2²
…
a_n-a_n-1=2^n-1
由累加法得：a_n-a₁=2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-2
解得a_n=2ⁿ（n≥2）
显然，当n=1时也适合，故a_n=2ⁿ（n∈N*）．
故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列，其通项公式为a_n=2ⁿ（6分）
（2）λ=1时由（1）可得，，
∴
∴数列{b_n}是等比数列
（3））①当λ=1时，a_n=2ⁿ，
由等比数列的求和公式可得，（7分）
②当λ=2时，构造等差数列 {}求解，，③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列 {}求解．
分析：（1）a₁=2，a₂=2λ+2，a₃=λa₂+4=2λ²+2λ+4．分两种情况讨论①数列{a_n}为等差数列，得λ²-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数λ，②若数列{a_n}为等比数列得（2+2λ）²=2（2λ²+2λ+4），解得λ=1，a_n+1=a_n+2ⁿ解得a_n=2ⁿ，故存在实数λ=1，使得数列{a_n}为等比数列．
（2）λ=1时由（1）可得，，容易证明
（3）①当λ=1时，转化为等比数列求解．②当λ=2时，构造等差数列 {}求解，，③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列 {}求解．
点评：本题是一道数列综合题，情景熟悉，貌似简单，入手也不难，但综合程度之高令人叹为观止．无论是分类讨论的思想，还是反证推理、求数列通项和数列求和都考查得淋漓尽致，累加法和待定系数法求数列的通项、错位相减法和分组求和法求数列的前n项和，几乎数列的所有知识和方法都熔于一炉．