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    外贸运动鞋的加工生产中，以美元为结算货币，依据数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得加工费近似地为
    1
    2
    ln（2x+1）万美元，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元，其中m∈（0，1）为该时段美元的贬值指数，从而实际所得的加工费为f（x）=
    1
    2
    ln（2x+1）-mx万美元．
    （Ⅰ）若美元贬值指数m=
    1
    200
    ，为确保实际所得加工费随x的增加而增加，加工产品订单的金额x应在什么范围内？
    （Ⅱ）若加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为p=
    1
    20
    x    万美元，已知加工生产能力为x∈[10，20]（其中x为产品订单的金额），试问美元的贬值指数m为何范围时，加工生产将不会出现亏损（即当x∈[10，20]时，都有f（x）≥p成立）．
    分析：（Ⅰ）把m=
    1
    200
    代入函数解析式f（x）=
    1
    2
    ln（2x+1）-mx，求导后由导函数大于0得到x的取值范围；
    （Ⅱ）由题意列出不等式f(x)=
    1
    2
    ln(2x+1)-mx≥
    1
    20
    x    ，分离变量
    1
    20
    +m    ，构造辅助函数g(x)=
    ln(2x+1)
    2x
    ，利用两次求导得到函数g（x）的单调性，由单调性求出g（x）的最小值，则m的取值范围可求．
    解答：解：（Ⅰ）由已知m=
    1
    200
    ，
    f(x)=
    1
    2
    ln(2x+1)-
    1
    200x
    ，其中x＞0．
    所以f′(x)=
    1
    2x+1
    -
    1
    200
    =
    199-2x
    200(2x+1)
    ．
    由f′（x）＞0，即199-2x＞0，
    解得0＜x＜99.5．
    即加工产品订单的金额x∈（0，99.5）（单位：万美元）时，实际所得加工费随x的增加而增加．
    （Ⅱ）依题意，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有
    f(x)=
    1
    2
    ln(2x+1)-mx≥
    1
    20
    x    ．
    可得
    1
    20
    +m≤
    ln(2x+1)
    2x
    ．
    令g(x)=
    ln(2x+1)
    2x
    ，x∈[10，20]．
    则g′(x)=
    2
    2x+1
    x-ln(2x+1)
    2x2
    =
    2x-(2x+1)ln(2x+1)
    2x2(2x+1)
    ．
    令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1）．
    则h′(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)•
    2
    2x+1
    ]    =-2ln（2x+1）＜0．
    可知h（x）在区间[10，20]上单调递减，h（x）最小值为h（20）=40-41ln41＜0，
    最大值为h（10）=20-21ln21＜0，所以当x∈[10，20]时，g′（x）＜0，g（x）在区间[10，20]上单调递减，
    因此g(x)min=
    ln41
    40
    ，即m≤
    ln41
    40
    -
    1
    20
    ．
    故当美元的贬值指数m∈(0，
    ln41-2
    40
    )    时，加工生产不会亏损．
    点评：本题考查了导数在最大值和最小值中的应用，训练了分离变量法，构造辅助函数并通过两次求导判处辅助函数的单调性是解答此题的关键，本题也考查了建模思想，学会审题并由题意列出相关不等式是解决该题的前提，是有一定难度题目．
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

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