Question

设函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）证明函数是偶函数；
（2）若方程f（x）=m有两个根，试求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得函数f（x）是偶函数．
（2）由于-3≤x≤3，求出函数的值域，画出函数的图象，由函数f（x）的图象和直线y=m有两个交点，数形结合求出m的取值范围．
解答：解：（1）证明：由于函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
的定义域关于原点对称，且f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
故函数f（x）是偶函数．
（2）由于-3≤x≤3，f（x）=x²-2|x|-1，
故当x=±1时，函数取得最小值为-2，
当x=±3时，函数取得最大值为2．
画出函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）的图象，如图：
若方程f（x）=m有两个根，则函数f（x）的图象和直线y=m有两个交点．
数形结合可得，m=-2，或 2≥m＞-1．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．