Question

如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD，BC=BD=5，AC=4，CD=4

2

．
（Ⅰ）求该四面体的体积；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D大小的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可得：AB⊥AC，AB⊥AD，所以得到Rt△BAC≌Rt△BAD，进而得到AD=AC=4，再根据线段的长度关系得到△ACD为直角三角形，利用等体积法求出几何体的体积．
（Ⅱ）作AO⊥平面BCD，过点O作OE⊥BC，连接AE，易得AE⊥BC，所以∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，再把角放入三角形中利用解三角形的有关知识解决问题．

解答：解：（Ⅰ）因为AB⊥平面ACD，
所以AB⊥AC，AB⊥AD．
又因为BC=BD=5，
所以Rt△BAC≌Rt△BAD．
所以AD=AC=4，所以AB=3．（3分）
因为CD=4

2

，所以△ACD为直角三角形，即AC⊥AD．（4分）
所以V_ABCD=V_B-ACD=

1

3

S_△ACD×AB=

1

3

×

1

2

×4×4×3=8，
故该四面体的体积为8．（6分）
（Ⅱ）如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，过点O作OE⊥BC，垂足为E，
连接AE，易得AE⊥BC，所以∠AEO为二面角A-BC-D的平面角．（8分）

在Rt△BAC中，AB=3，AC=4，BC=5，AE⊥BC，则
AE=

AB•AC

BC

=

12

5

．（9分）
又BC=BD=5，CD=4

2

，则S_△BCD=

1

2

×4

2

×

17

=2

34

．（10分）
因为V_A-BCD=8，则

1

3

S_△BCD×AO=8，所以AO=

24

S△BCD

=

24

2 34

=

6 34

17

．（11分）
在Rt△AOE中，sin∠AEO=

AO

AE

=

6 34 17

12 5

=

5 34

34

．
故二面角A-BC-D的正弦值为

5 34

34

．（12分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．