Question

）如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯 

形，∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEFA,G、H分别为FA、FD的中点.

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？

（3）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.

Answer 1

证明略

解析:

方法一  (1)  由题设知,FG=GA,

FH=HD,所以GHAD.

又BCAD,故GHBC.

所以四边形BCHG是平行四边形.

(2)  C、D、F、E四点共面.

理由如下：

由BEAF，G是FA的中点知，

BE GF，所以EF∥BG.

由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.

又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面.

（3）如图，连接EG，由AB=BE，BEAG及∠BAG=90°知ABEG是正方形,故BG⊥EA.

由题设知,FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，

因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BG⊥ED.

又ED∩EA=E,所以BG⊥平面ADE.

由(1)知,CH∥BG,所以CH⊥平面ADE.

由(2)知CH平面CDE,得平面ADE⊥平面CDE.

方法二  由题设知,FA、AB、AD两两互相垂直.

如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，

以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系A—xyz.

（1）  设AB=a，BC=b，BE=c，则由题设得

A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，b，0），D（0，2b，0），E（a，0，c），

G（0，0，c），H（0，b，c）.

所以，=（0，b，0），=（0，b，0），于是=.

又点G不在直线BC上，

所以四边形BCHG是平行四边形.

（2）  C、D、F、E四点共面.

理由如下：由题设知F（0，0，2c），

所以=（-a，0，c），=（-a，0，c），=.

又CEF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面.

（3）  由AB=BE，得c=a，

所以=（-a，0，a），=（a，0，a）.

又=（0，2b，0），因此·=0，·=0.

即CH⊥AE，CH⊥AD.

又AD∩AE=A，所以CH⊥平面ADE.

故由CH平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.