Question

已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 　

　求：AM与CN所成的角的余弦值；

Answer 1

解析:

(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE

　为AM与CN所成的角。

　∵N为AD的中点, NE∥AM省  　∴NE=AM且E为MD的中点。

　设正四面体的棱长为1，　　则NC=·= 且ME=MD= 

　　在Rt△MEC中，CE²=ME²+CM²=+= 

∴cos∠CNE=,

　　又∵∠CNE ∈(0, )

∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为.

注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。

2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。