Question

已知数列｛b_n｝是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=145.

（Ⅰ）求数列｛b_n｝的通项b_n；

（Ⅱ）设数列｛a_n｝的通项a_n=log_a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S_n是数列｛a_n｝的前n项和.试比较S_n与log_ab_n+1的大小，并证明你的结论.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）设数列｛bn｝的公差为d，由题意得 解得    ∴bn＝3n－2 （Ⅱ）由Sn＝3n－2知 因此要比较Sn与logabn＋1的大小，可先比较（1＋1）（1＋）…（1＋）与的大小. 取n=1，有（1＋1）＞ 取n=2，有（1＋1）（1＋）＞， …… 由此推测（1＋1）（1＋）……（1＋）＞　　   ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定： 当a＞1时，Sn＞logabn+1 当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1. 下面用数学归纳法证明①式. （i）当n=1时已验证①式成立. （ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立， 即（1+1）（1+）……. 那么，当n=k+1时， （1+1）（1+）……（1+）·［1+］＞（1+） =（3k+2） ∵ ∴（3k+2）＞ 因而（1+1） 这就是说①式当n=k+1时也成立. 由（i）（ii）知，①式对任何自然数n都成立.由此证得： 当a＞1时，Sn＞logabn+1 当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1