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已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2),记an=3f(n),n∈N*   
(1)求数列{an}的通项公式
(2)设bn=
an2n
,求数列{bn}的前n项和Tn  
(3)在(2)的条件下,判断数列{Tn }的单调性,并给出证明.
分析:(1)先由函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2),求出a,b,进而求得函数f(x)的解析式,即可求出数列{an}的通项公式;
(2)用错位相减法求出Tn的表达式即可求出对应的m的最小值;
(3)根据(2)中数列{Tn }的通项公式,我们不妨构造函数f(n)=
2n+3
2n
,n∈n*,并判断出函数的单调性,再根据数列{Tn }的单调性与函数f(n)的单调性相反,易得到数列{Tn }的单调性.
解答:解:(1)由题意得
log3(2a+b)=1
log3(5a+b)=2
,解得
a=2
b=-1
,(2分)
∴f(x)=log3(2x-1)
an=3log3(2n-1)=2n-1,n∈N*(4分)
(2)由(1)得 bn=
2n-1
2n
,∴Tn=
1
21
+
3
22
+
5
23
+…+
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
①…5分
1
2
Tn
1
22
+
3
23
+…+
2n-5
2n-1
+
2n-3
2n
+
2n-1
2n+1
②…7分
①-②得
1
2
Tn=
1
21
+
2
22
+
2
23
+…+
2
2n-1
+
2
2n
-
2n-1
2n+1
=
1
21
+2(
1
21
+
1
22
+…+
1
2n-2
+
1
2n-1
)-
2n-1
2n+1
=
3
2
-
1
2n-1
-
2n-1
2n+1

Tn=3-
1
2n-2
-
2n-1
2n
=3-
2n+3
2n
,(10分)
(3)数列{Tn }为递增数列
∵Tn=3-
2n+3
2n
,令f(n)=
2n+3
2n
,n∈n*
∴f(n+1)-f(n)=
2n+5
2n+1
-
2n+3
2n
=
-2n-1
2n+1
<0…13分
故函数f(n)=
2n+3
2n
,n∈n*为减函数,
则数列{Tn }为递增数列…14分
点评:本题考查的知识点是数列与函数的综合应用,数列的求和,其中第二问考查了数列求和的错位相减法.错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列.
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2
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6
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6
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