Question

【题目】对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”.

（1）若是“型函数”，且，求满足条件的实数对；

（2）已知函数.函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）解方程，，即得解；（2）等价于在上的值域是在上的值域的子集，等价于对任意，都有.再利用是“型函数”求解.

解：（1）因为是“型函数”，

所以存在实数对使得等式成立，即，

代入，可得，即，.

所以满条件的实数对为.

（2）因为对任意时，都存在，使得，

所以在上的值域是在上的值域的子集.

因为，时，，

则对任意，都有.

因为是“型函数”，且对应的实数对为，所以.

当时，，则只需满足对任意，

都有且成立.

即对任意，都有即可，

即不等式对任意恒成立且.

①时，，时满足条件；

②时，，满足条件；

③时，该不等式等价于.

时，即恒成立，；

时，即恒成立，

因为在上单调递增，所以.

综上可得，.