Question

[理]如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁D₁的中点，H为平面EDB内一点，

HC1

={2m，-2m，-m}(m＜0)
（1）证明HC₁⊥平面EDB；
（2）求BC₁与平面EDB所成的角；
（3）若正方体的棱长为a，求三棱锥A-EDB的体积．
[文]若数列{a_n}的通项公式an=

1

(n+1)2

(n∈N+)，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）推测f（n）的表达式；
（3）证明（2）中你的结论．

Answer 1

分析：[理]（1）由向量的数量积可得

HC1

•

DE

=0 ，

HC1

•

DB

=0，可得HC₁⊥DE，HC₁⊥DB，即由线线垂直得到线面垂直．
（2）由题意得面EDB的垂线是BC₁，即平面的法向量

BC1

={ -a ，0 ， a }，进而求

BC1

与

HC1

所成的角θ即可．
（3）由于三棱锥A-EDB的体积不易求出，把三棱锥换一个顶点求三棱锥E-ABD的体积，高是AA₁，底面为S_△ABD
[文]（1）将1，2，3分别代入数列{a_n}的通项公式an=

1

(n+1)2

(n∈N+)计算f（1），f（2），f（3）的值即可．
（2）f(1)=1-a1=

3

4

f（2）=

2

3

，f（3）=

5

8

，f（4）=

3

5

，可以发现n与函数f（n）的关系f（n）的表示式．
（3）防写出所求的式子的类似的式子，把所写出的式子相乘，化简整理得到所写出的结果，结论正确．

解答：[理]解：（1）设正方体的棱长为a，
则

DE

={

a

2

 ， 0 ， a }，

DB

={ a ， a ， 0 }，
∵

HC1

•

DE

=0 ， 

HC1

•

DB

=0，
∴

HC1

⊥

DE

 ， 

HC1

⊥

DB

，又DE∩DB=D，
∴HC₁⊥平面EDB．
（2）

BC1

={ -a ，0 ， a }，
设

BC1

与

HC1

所成的角为θ，
cosθ=

BC1 • HC1

| BC1 |•| HC1 |

=

2ma+ma

2 a•3m

=

2

2

∴θ=45°．
由（1）知HC₁⊥平面EDB，
∴∠C₁BH为BC₁与平面EDB所成的角．
∠C₁BH=90°-45°=45°．
（3）VA-EDB=VE-ABD=

1

3

•

1

2

a2•a=

1

6

a3
[文]解：（1）a₁=

1

4

，a₂=

1

9

，a₃=

1

16

，a₄=

1

25

，f(1)=1-a1=

3

4

f（2）=（1-a₁）（1-a₂）=

2

3

，
f（3）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）=

5

8

，f（4）=（1-a₁）（1-a₂）（1-a₃）（1-a₄）=

3

5

，
（2）故猜想f（n）=

n+2

2(n+1)

(n∈N*)
（3）证明：1-an=1-

1

(n+1)2

=

n2+2n

(n+1)2

=

n+2

n+1

•

n

n+1

1-an-1=

n+1

n

•

n-1

n

1-an-2=

n

n-1

•

n-2

n-1

1-an-3=

n-1

n-2

•

n-3

n-2

…1-a3=

5

4

•

3

4

1-a2=

4

3

•

2

3

1-a1=

3

2

•

1

2

将上述n个因式相乘得：(1-a1)(1-a2)(1-an)=

n+2

n+1

•

1

2

=

n+2

2(n+1)

即f（n）=

n+2

2(n+1)

(n∈N*)

点评：本题是两个题目，一个适合文科做，一个适合理科做，第一个题目解题的关键是建立坐标系，在坐标系里解决立体几何题目，第二个题目是猜测证明的一个过程，注意根据所给的几项的值写出数列的通项，并且加以证明．