Question

从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中任意取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有

C

m n+1

种取法，这

C

m n+1

种取法可分成两类：一类是取出的m个球全为白球，共有

C

0 1

C

m-1 n

种取法；另一类是取出的m个球有m-1个白球，1个黑球，共有

C

1 1

C

m n

种取法，显然

C

0 1

C

m n

+

C

1 1

C

m-1 n

=

C

m n+1

，即有等式：

C

m n

+

C

m-1 n

=

C

m n+1

，根据以上思想，类比下列式子：

C

m n

+

C

1 k

C

m-1 n

+

C

2 k

C

m-2 n

+…+

C

k k

C

m-k n

=

C

m n+k

（1≤k＜m≤n，k，m，n∈N）

Answer 1

分析：根据题中分类讨论思路，在式子C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，答案应为从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式可得答案．

解答：解：在C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k中，
从第一项到最后一项分别表示：
从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，
若取出的m个球全为白球，取法有C_n^m种；
若取出的m个球有m-1个白球和1个黑球，取法有C_k¹•C_n^m-1种；
…
若取出的m个球有m-k个白球和k个黑球，取法有C_k^k•C_n^m-k种；
因此它们的和为从装有n+k球中取出m个球的不同取法种数，即C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k=C_n+k^m
故答案为：C_n+k^m

点评：本题给出实际应用问题，求类比推理的化简结果．着重考查了类比推理和排列组合公式等知识，属于中档题．处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析即可给出正确答案．