Question

已知数列{a_n}、{b_n}中，对任何正整数n都有：

a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2.

（1）若数列{a_n}是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{b_n}是等比数列；

（2）若数列{b_n}是等比数列，数列{a_n}是否是等差数列，若是,请求出通项公式;若不是,请说明理由；

（3）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，求证：＜.

Answer 1

解：(1)依题意数列{a_n}的通项公式是a_n=n，

故等式即为b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+(n-1)b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，

同时有b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+(n-2)b₂+(n-1)b₁=2ⁿ-n-1(n≥2)，

两式相减可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1,

可得数列{b_n}的通项公式是b_n=2^n-1，

知数列{b_n}是首项为1，公比为2的等比数列.

(2)设等比数列{b_n}的首项为b，公比为q，则b_n=bq^n-1，从而有：

bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2.

又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1(n≥2)，

故(2ⁿ-n-1)q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2,

a_n=×2ⁿ+×n+，

要使a_n+1-a_n是与n无关的常数，必须q=2，

即①当等比数列{b_n}的公比q=2时，数列{a_n}是等差数列，其通项公式是a_n=；

②当等比数列{b_n}的公比不是2时，数列{a_n}不是等差数列.

(3)证明:由(2)知a_nb_n=n·2ⁿ，

=+…+,

=+…+(n≥5)

=+++×

=+++×()^n-3

=×()^n-3＜×()^n-3＜.