Question

已知函数图像上一点处的切线方程为(1)求的值；(2)若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；(3)令如果的图像与轴交于两点，的中点为，求证：

Answer 1

(1) a＝2,b＝1. (2)  (3)详见解析.

试题分析：(1)利用导数几何意义，函数在点处的导数值为切线的斜率，即，又，所以可得a＝2,b＝1. (2)利用函数与方程思想，即研究函数图像与直线有两个不同的交点，因为，所以当x∈时,, f(x)是增函数；当x∈时, , f(x)是减函数.且，所以 (3)正难则反，假设这样从等量关系进行逻辑推理，先列出等量关系，五个未知数，四个方程，应建立函数关系，关键是消元，观察可知应消去，得，转化为，这是关于的一元函数，利用导数可研究其单调性＞0，故，即方程无解，假设不成立.
试题解析：解：(1),,.
∴,且.解得a＝2,b＝1.   .    (4分)
(2),设,
则,令,得x＝1(x＝－1舍去).
当x∈时,, h(x)是增函数；当x∈时,, h(x)是减函数.
则方程在内有两个不等实根的充要条件是
解得.                 (8分)
(3),.假设结论成立,
则有,①－②,得.
∴.由④得,于是有,∴,
即.⑤ 令, (0＜t＜1),则＞0.
∴在0＜t＜1上是增函数,有,∴⑤式不成立,与假设矛盾.
∴.                          (12分)