Question

（1）求证：函数f（x）=x³-3x对于区间[-1，1]上任意两个自变量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（2）若过点A（1，m）（m≠2）可作曲线f（x）=x³-3x的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将问题转化为研究函数在区间[-1，1]上的单调性求最值的问题．
（2）利用导数的几何意义以及导数的应用建立条件关系即可，要注意对点是否在曲线上进行讨论．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
∵对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|
即|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4成立．
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，
设切点为（x₀，y₀）
则y₀=x₀³-3x₀，k=f'（x₀）=3x₀²-3．
则切线方程为y-（x₀³-3x₀）=（3x₀²-3）（x-x₀），
将A（1，m）代入上式，整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线
∴方程2x³-3x²+m+3=0（*）有三个不同实数根，
记g（x）=2x³-3x²+m+3，g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）、
令g'（x）=0，x=0或1、
则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2．
由题意有，当且仅当

g(0)＞0 g(1)＜0

，即

m+3＞0 m+2＜0

，
解得-3＜m＜-2时，
函数g（x）有三个不同零点、
此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．
故m的范围是（-3，-2）．

点评：本题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．综合性较强，运算量较大．