Question

如图（1）所示，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如图（2）），
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积．

Answer 1

分析：（1）判断：AB∥平面DEF，再由直线与平面平行的判定定理进行证明．
（2）过点E作EM⊥DC于点M，由面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM?面ACD，知EM是三棱锥E-CDF的高，由此能求出三棱锥C-DEF的体积．

解答：解：（1）判断：AB∥平面DEF，（2分）
证明：因在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB，（5分）
又因AB?平面DEF，
∴EF?平面DEF，（6分）
所以AB∥平面DEF，（7分）
（2）过点E作EM⊥DC于点M，
∵面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM?面ACD
故EM⊥平面BCD  于是EM是三棱锥E-CDF的高，（9分）
又△CDF的面积为S_△CDF=

1

2

S△BCD=

1

2

•

1

2

•CD•BD=

1

4

(2a)2-a2

•a=

3

4

a2，
EM=

1

2

AD=

1

2

a，（11分）
故三棱锥C-DEF的体积VC-DEF=VE-CDF=

1

3

S△CDF•EM=

1

3

•

3 a2

4

•

1

2

a=

3 a3

24

．（14分）

点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．