Question

在直角坐标平面，以（199，0）为圆心，199为半径的圆周上整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为

4个

．

Answer 1

分析：问题即求x²+y²=199²的整数解的个数，显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n-1，且1≤m，n≤99，求得只有（0，±199），（±199，0）这4解，从而得出结论．

解答：解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果，故问题即求x²+y²=199²的整数解的个数．
显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n-1，且1≤m，n≤99．
则得4m²=199²-（2n-1）²=（198+2n）（200-2n）．
m²=（99+n）（100-n）≡（n-1）（-n）（mod4）．
由于m为正整数，m²≡0，1（mod4）；（n-1）（-n）≡

0，(当n≡0，1(mod4)时) 2，(当n≡2，3(mod4)时

，
二者矛盾，故只有（0，±199），（±199，0）这4解．
∴共有4个，即（199，±199），（0，0），（398，0），
故答案为4．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．