Question

（2012•泰州二模）已知函数f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x（a＞0）．
（1）若函数f（x）在x=0处取极值，求a的值；
（2）如图，设直线x=-

1

2

，y=-x将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数y=f（x）的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；
（3）比较3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹与2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x得f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，由f（x）在x=0处取极值，能求出a．
（2）由函数的定义域为（-

1

2

，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，又直线y=-x恰好过原点，所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，于是f（x）＜-x，由此能求出a的取值范围．
（3）由（2）知，函数m（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在x∈（

e-1

2

，+∞）时单调递减，函数p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）时，单调递减，故 （x+1）^x＜x^（x+1），由此能比较3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹与2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²的大小．

解答：解：（1）∵f（x）=（2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x，
∴f′（x）=2ln（2x+1）-4a（2x+1）+1，
∵f（x）在x=0处取极值，
∴f′（0）=-4a+1=0，
∴a=

1

4

，经检验a=

1

4

符合题意，
故a=

1

4

．
（2）∵函数的定义域为（-

1

2

，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，
又直线y=-x恰好过原点，
所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，
于是f（x）＜-x，
即 （2x+1）ln（2x+1）-a（2x+1）²-x＜-x，
∵2x+1＞0，∴a＞

ln(2x+1)

2x+1

，
令h（x）=

ln(2x+1)

2x+1

，∴h′（x）=

2-ln(2x+1)

(2x+1)2

，
令h′（x）=0，得x=

e-1

2

，
∵x＞-

1

2

，∴x∈（-

1

2

，

e-1

2

）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（

e-1

2

，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
∴m_max（x）=m（

e-1

2

）=

1

e

，
∴a的取值范围是：a＞

1

e

．
（3）由（2）知，函数m（x）=

ln(2x+1)

2x+1

在x∈（

e-1

2

，+∞）时单调递减，
∴函数p（x）=

lnx

x

在x∈（e，+∞）时，单调递减，
∴

ln(x+1)

x+1

＜

lnx

x

，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴ln（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=3，4，…，2011，则4³＜3⁴，5⁴＜4⁵，…，2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．
又3²×4³＜2³×3⁴，
∴3²×4³×5⁴×…×2012²⁰¹¹＜2³×3⁴×4⁵×…×2011²⁰¹²．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题中的隐含条件，合理地进行等价转化．