Question

下列命题：
①若m∈（0，1]，则m+

3

m

≥2

3

；
②

lim

n→∞

(-2)n-3n

3n+2n

=-1；
③若无穷数列an=

1

n(n+2)

，其各项和S=

3

4

；
④log32＞ln2＞

1

2

；
⑤设f(x)=

2x+1

x-1

，(x≠1)，f'（x）为其导函数，若f'（a）=f'（b），（a≠b），则f（a）+f（b）=4．
其中正确命题有

②③⑤

．（请填上你认为正确的所有命题的序号，多填少填均不得分）

Answer 1

分析：①若m∈（0，1]，则m+

3

m

≥2

3

，当且仅当m=

3

m

，即m=

3

时，取等号，因为

3

∉(0，1]，知①不正确；②

lim

n→∞

(-2)n-3n

3n+2n

=

lim

n→∞

(- 2 3 )n-1

1+( 2 3 )n

=-1；③若无穷数列an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由S_n=a₁+a₂+…+a_n=

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

，由此知其各项和S=

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

)=

3

4

；④由3＞e，知log₃2＜ln2；⑤设f(x)=

2x+1

x-1

，(x≠1)，f'（x）为其导函数，若f'（a）=f'（b），（a≠b），则f（a）+f（b）=4．

解答：解：①若m∈（0，1]，则m+

3

m

≥2

3

，
当且仅当m=

3

m

，即m=

3

时，取等号，
因为

3

∉(0，1]，故①不正确；
②

lim

n→∞

(-2)n-3n

3n+2n

=

lim

n→∞

(- 2 3 )n-1

1+( 2 3 )n

=-1，故②正确；
③若无穷数列an=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
则S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

 -

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

，
∴其各项和S=

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

(

3

4

-

1

2

•

2n+3

n2+3n+2

)=

3

4

，故③正确．
④∵3＞e，∴log₃2＜ln2，故④不正确；
⑤设f(x)=

2x+1

x-1

，(x≠1)，f'（x）为其导函数，
若f'（a）=f'（b），（a≠b），则f（a）+f（b）=4，故⑤正确．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，注意均值定理、数列的极限、对数函数、导数等知识点的灵活运用．