Question

【题目】已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且P满足|PF1|﹣|PF2|＝2b，则C的离心率e满足（　　）

A. e2﹣3e+1＝0B. e4﹣3e2+1＝0C. e2﹣e﹣1＝0D. e4﹣e2﹣1＝0

Answer 1

【答案】D

【解析】

可设|PF1|＝m，|PF2|＝n，运用直角三角形的勾股定理，渐近线方程与圆方程联立，求得P的坐标，再由直角三角形的面积公式，结合离心率公式，计算即可得到所求关系式．

可设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m﹣n＝2b，①在直角三角形PF1F2中，m2+n2＝4c2，②

由①②可得mn＝2c2﹣2b2，由渐近线方程y＝x和圆x2+y2＝c2，

可得P（a，b），由三角形的面积公式可得：mn＝2cb，即c2﹣b2＝cb，

可得a2＝cb，即有a4＝c2（c2﹣a2）＝c4﹣c2a2，由离心率e＝可得1＝e4﹣e2，

即有e4﹣e2﹣1＝0．

故选：D．