Question

已知集合是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立。
（1）函数是否属于集合？说明理由；
（2）设函数，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）f（x）＝；（Ⅱ）a[3－，3＋]；

试题分析：（Ⅰ）当时，由有：
，即     3分
f（x）＝的定义域为，
令，整理得x＋x＋1＝0，△＝－3<0，
因此，不存在x使得f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立，所以f（x）＝；…… 6分
（Ⅱ）f（x）＝lg的定义域为Ｒ，f（1）＝lg，a>0，    ..7分
若f（x）＝ lgM，则存在xＲ使得lg＝lg＋lg，
整理得存在xＲ使得（a－2）x＋2ax＋（2a－2）＝0.      8分
（1）若a－2＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件; 10分
（2）若a－20即a时，令△≥0，    12分
解得a，      13分
综上，a[3－，3＋]；       14分
点评：综合题，本题以新定义函数为载体，综合考查对数函数的性质，方程解的讨论，对考生数学式子变形能力要求较高。本题较难。