Question

设x₁，x₂是f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x（a，b∈R，a＞0）的两个极值点，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求证：b＜

1

4

；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，函数g（x）=-f′（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用导数与函数极值的关系列出关于a，b的不等式组是解决本题的关键，利用整体思想确定出f′（-2）的取值范围；
（Ⅱ）建立b与x₁，x₂的关系是解决本题的关键．根据所得的函数表达式利用函数的单调性求出b的取值范围；
（Ⅲ）写出函数g（x）的表达式是解决本题的关键，根据基本不等式求出函数的最大值h（a），利用导数求该函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）对f（x）求导得f'（x）=ax²+（b-1）x+1，由题意x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根．
由x₁＜2＜x₂＜4，且a＞0得

f′(2)＜0 f′(4)＞0

即

4a+2b-1＜0，?(1) 16a+4b-3＞0，?(2)

f'（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3，由（1）（2）所表示的平面区域可求得4a-2b＞0，
故f'（-2）=4a-2b+3＞3．
所以f'（-2）的取值范围是（3，+∞）．
（Ⅱ）方程ax²+（b-1）x+1=0的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系得

x1+x2=- b-1 a x1x2= 1 a

由于x₁x₂≠0，两式相除得-（b-1）=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

，即b=-

1

x1

-

1

x2

+1．
由条件x₂=x₁+2可得b=?（x₁）=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，易知当x₁∈（0，2）时，φ（x）是增函数，
当x₁∈（0，2）时，?（x₁）＜?（2）=

1

4

，
故b的取值范围是(-∞，

1

4

)．得证．
（Ⅲ）因为f'（x）=0的两根是x₁，x₂，
故可设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以g（x）=-f'（x）+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=a（x₂-x）(x-x1+

2

a

)．
由于x∈（x₁，x₂），
因此x₂-x＞0，x-x₁＞0，
又a≥2，可知x-x₁+

2

a

＞0，
故g(x)=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)≤a[

(x2-x)+(x-x1+ 2 a )

2

]2=a(1+

1

a

)2=a+

1

a

+2，
当且仅当x₂-x=x-x₁+

2

a

即x=x₁+1-

1

a

时取等号．
所以h（a）=a+

1

a

+2，a∈[2，+∞），
当a∈（2，+∞）时，h'（a）=1-

1

a2

＞0，h（a）在（2，+∞）内是增函数，
又h（a）在[2，+∞）上连续，
故h（a）在[2，+∞）上是增函数．
所以h（a）_min=h（2）=

9

2

．

点评：本题属于函数与不等式的综合问题，利用导数的基本知识确定出相关的关系，列出相关的不等式进行综合转化．本题考查学生的转化与化归思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查导数的工具作用．