Question

如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，，且交于点 .

  （I） 求证： 平面；

   （II） 求二面角的余弦值大小；

   （III）求证：平面⊥平面.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（II）二面角的余弦值为．（III）证明见解析

解析:

（Ⅰ）证明：连结交于，连结.

是正方形，∴ 是的中点. ----------1分

是的中点， ∴是的中位线.  ∴.  ----------2分

 又∵平面， 平面， ----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

由故设，则

.  ----------6分

底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

设平面的法向量为,

,

则  即 

 ∴     令,则.  ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值为． ------------------10分

（III）， ，

----------11分

   又且.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分