Question

如图所示，设铁路AB=50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？

Answer 1

分析：由已知，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费，
利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案．

解答：解：设M为AB上的一点，且MB=x，于是AM上的运费为2（50-x），MC上的运费为4

102+x2

，
则由A到C的总运费为
p（x）=2（50-x）+4

100+x2

（0≤x≤50）．
p′（x）=-2+

4x

100+x2

，
令p′（x）=0，解得x₁=

10

3

，x₂=-

10

3

（舍去）．
当x＜

10

3

时，p′（x）＜0；当x＞

10

3

时，p′（x）＞0，
故当x=

10

3

时，p（x）取得最小值．
即在离点B距离为

10 3

3

的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．

点评：本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用，函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，并确定函数的单调性是解答本题的关键．