Question

【题目】设函数由方程到确定，对于函数给出下列命题：

①对任意，都有恒成立：

②，使得且同时成立；

③对于任意恒成立；

④对任意，，

都有恒成立.其中正确的命题共有( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

分四类情况进行讨论，画出相对应的函数图象，由函数图象判断所给命题的真假性．

由方程知，

当x≥0且y≥0时，方程为y2＝1；

当x＜0且y＜0时，方程为y2＝1，不成立；

当x≥0且y＜0时，方程为y2＝1；

当x＜0且y≥0时，方程为y2＝1；

作出函数f（x）的图象如图所示，

对于①，f（x）是定义域R上的单调减函数，则

对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有恒成立，①正确；

对于②，假设点（a,b）在第一象限，则点(b,a)也在第一象限，

所以，该方程组没有实数解，所以该情况不可能；

假设点（a,b）在第四象限，则点(b,a)在第二象限，

所以，该方程组没有实数解，所以该种情况不可能；

同理点（a,b）在第二象限，则点(b,a)在第四象限，也不可能.

故该命题是假命题.

对于③，由图形知，对于任意x∈R，有f（x）x，

即2f（x）+x＞0恒成立，③正确；

对于④，不妨令t，则tf（x1）+（1﹣t）f（x2）﹣f[tx1+（1﹣t）x2]＞0为

f（），不是恒成立，所以④错误．

综上知，正确的命题序号是①③．

故选：B．