Question

【题目】如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点的平面截去一个三棱锥(图一)得几何体(图二)，E为的中点．

(1)点F为棱上的动点，试问平面与平面是否垂直?请说明理由；

(2)设，当点F为中点时，求锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)利用直四棱柱的几何特征可知 ，B1D1⊥平面CEA1，从而平面平面CEA1 ；(2) 分别以所在直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面与平面F的法向量，代入公式即可得到锐二面角的余弦值．

（1）平面平面，证明如下：

连接AC，BD相交于点O，

因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

又因为直四棱柱上下底面全等，

所以由AC⊥BD得，

又因为CB=CD，，

所以CB1=CD1.

因为E为B1D1的中点，所以，

又，所以B1D1⊥平面CEA1，

又因为平面，

所以平面平面CEA1.

（2）连接OE，易知OE⊥平面ABCD，所以OB，OC，OE两两互相垂直，

所以分别以所在直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则O（0，0，0），.（7分）

设平面的法向量为，则

，

令

所以.

同理设平面F的法向量为，则

，

令.

所以，

所以

,

所以所求的锐二面角的余弦值为