Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为      E为BC的中点，所以AE⊥BC.

     又   BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.

而    PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，

所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以 AE⊥PD.（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE=，

所以  当AH最短时，∠EHA最大，

即     当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时    tan∠EHA=

因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，

所以    PA=2.

解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

        过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

        过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

       在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,

       又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,

       又  

       在Rt△ESO中，cos∠ESO=

       即所求二面角的余弦值为

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以    

设平面AEF的一法向量为m

则

因此

取，

因为  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以   BD⊥平面AFC，

故     为平面AFC的一法向量.

又     =（-），

所以  cos＜, ＞=.

因为   二面角E-AF-C为锐角，

所以所求二面角的余弦值为