Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】试题分析： 由中，令，得，求出b＝3，然后，算出 QB1的斜率为，表示直线QB1的方程和QB2的方程，求出两点坐标关系，代入，求出结果

解析：设， ．

（1）在中，令，得，从而b＝3．

由 得，所以．

因为， 所以，解得．

所以椭圆的标准方程为．

（2）直线PB1的斜率为，由所以直线QB1的斜率为． 于是直线QB1的方程为： ．

同理，QB2的方程为： ．

联立两直线方程，消去y，得．

因为在椭圆上，所以，从而．

所以，所以．