Question

如图所示,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.

(1)求证:A,E,F,D四点共圆;

(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析   (2)

【解析】

(1)证明:∵AE=AB,∴BE=AB.

又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.

又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,

∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,

∴∠ADF+∠AEF=π,

∴A,E,F,D四点共圆.

(2)解:如图所示,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.

∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.

∵AD=AC=,∠DAE=60°,

∴△AGD为正三角形,

∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,

所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.

由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.