Question

（08年山西大学附中五模理） 已知函数．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．

Answer 1

解析：．

令

x	(0,1)	1	(1,+
	+	0	－
g(x)		极大值0

根据此表可知，当x=1时，g(x)的最大值为0.            

当x>0时，都有g(x)≤0,即lnx≤x-1.         

(2)解法一：

①  当k<0时, ,∴h(x)在(0,+上是减函数；

又当x>0且x趋近于零时,h(x)>0.

∴此时h(x)=0在上有解．       

②当k>0时, 令得 x=(∵x>0)

x
	－	0	+
h(x)		极小值

根据此表,当x=,h(x)的最小值为，

依题意，当≤0，即时，关于x的方程f(x)=在上

有解，

综上：k<0或.

解法二：当x>0时，lnx=等价于 

令F(x)= 则，

令得.

x
	+	0	－
F(x)		极小值

根据此表可知, 当x=时,F(x)的最大为.

又当x>0且x趋近于零时,F(x)趋向于负无穷大．

依题意，当，即k<0或,时，关于x的方程f(x)=在上有解，

因此, 实数k的取值范围为k<0或.