Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=1，a₂=a（a为实数），且，其中n=1，2，3，…

   （Ⅰ）求证：“若数列{a_n}是等比数列，则数列{b_n}也是等比数列”是真命题；

   （Ⅱ）写出（Ⅰ）中命题的逆命题；判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

Answer 1

（I）证明见解析

   （II）逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.

解析:

（I）因为是等比数列，

         又…………………………………………2分

        

         ∴是以a为首项，为公比的等比数列.………………………………6分

   （II）（I）中命题的逆命题是：若是等比数列，则也是等比数列，是假命题.

                           ……………………………………………………………8分

         设的公比为则

         又

         是以1为首项，q为公比的等比数列，

         是以为首项，q为公比的等比数列.……………………10分

         即为1，a，q，aq，q²，aq²，…

         但当q≠a²时，不是等比数列

         故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分

         另解：取a=2，q=1时，

        

         因此是等比数列，而不是等比数列.

         故逆命题是假命题.……………………………………………………………………12分