Question

如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=AB，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°.

(Ⅰ)求证：DE∥平面PBC；

(Ⅱ)求证：DE⊥PC；

(Ⅲ)求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值.

Answer 1

答案：证明：(Ⅰ)∵E是AB的中点,∴BE=AB,

又∵CD∥AB,DC=AB,∴DC∥EB且DC=EB,∴四边形DCBE是平行四边形,∴ED∥BC,

∵DE面PBC,BC面PBC,∴DE∥平面PBC. 

(Ⅱ)连接EC,据(Ⅰ)知,CD∥AE且CD=AE,

∴四边形ADCE为平行四边形,又AD=DC,∴四边形ADCE是菱形.

连接AC交DE于F,连接PF,则DE⊥AC,DE⊥PF,

∵AC∩PF=F,∴DE⊥平面PFC,又∵PC平面PFC,∴DE⊥PC.

(Ⅲ)∵DE⊥平面PFC,DE平面BCDE,∴平面PFC⊥平面BCDE,且两平面交于AC,过点P作PH⊥AC于H,则PH⊥平面BCDE,连接DH,则DH为PD在平面BCDE上的射影,∴∠PDH就是直线PD与平面BCDE所成的角. 

由(Ⅱ)知,∠PFC就是二面角P-DE-C的平面角,∴∠PFC=120°,∴∠PFA=60°.

设AD=AE=BC=DE=a,则AF=PF=a,在Rt△PHF中,PH=PF·sin60°=a.

∴在Rt△PHD中,sin∠PDH=.