Question

【题目】记表示中的最大值，如,已知函数.

（1）求函数在上的值域；

（2）试探讨是否存在实数, 使得对恒成立？若存在，求的取值范围；

若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据题意，明确给定范围上的的表达式，然后求值域；（2）根据题意，明确给定范围上的的表达式，然后恒成立问题就转化为最值问题.

试题解析：（1）设，．．．．．．．．．．．．．1分

令，得递增；令，得递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

即，∴．．．．．．．．．．．．．4分

故函数在上的值域为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）①当时，

∵，∴，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

若，对恒成立，则对恒成立，

设，则，

令，得递增；令，得递减．

∴，∴，∴，∵，∴．．．．9分

②当时，由（1）知，对恒成立，

若对恒成立，则对恒成立，

即对恒成立，这显然不可能．

即当时，不满足对恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

故存在实数，使得对恒成立，且的取值范围为．．．．．．．12分