Question

如图5，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.

Answer 1

(1)  (2)不存在

试题分析:(1)利用正方形面积为2,即可得到对角线的长为2,则可得的两个顶点和的两个焦点的坐标,求的的值,再结合点在双曲线上,代入双曲线结合之间的关系即可求的的值,得到双曲线的方程,椭圆的焦点坐标已知,点在椭圆上,利用椭圆的定义即为到两焦点的距离之和,求出距离即可得到的值,利用之间的关系即可求出的值,得到椭圆的标准方程.
(2)分以下两种情况讨论,当直线的斜率不存在时,直线与只有一个公共点,即直线经过的顶点,得到直线的方程,代入双曲线求的点的坐标验证是否符合等式,当直线的斜率存在时,直线的方程为,联立直线与双曲线消元得到二次方程,再利用根与系数之间的关系得到关于两点横纵坐标之和的表达式,利用出,再立直线与椭圆的方程即可得到直线的关系,可得到内积不可能等于0,进而得到,即,即不存在这样的直线.
的焦距为,由题可得,从而,因为点在双曲线上,所以,由椭圆的定义可得
,于是根据椭圆之间的关系可得,所以的方程为.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线垂直于轴,即直线的斜率不存在,因为与只有一个公共点,所以直线的方程为或,
当时,易知所以,此时.
当时,同理可得.
②当直线不垂直于轴时,即直线的斜率存在且设直线的方程为,联立直线与双曲线方程可得,当与相交于两点时,设,则满足方程,由根与系数的关系可得,于是,联立直线与椭圆可得
,因为直线与椭圆只有一个交点,
所以,化简可得,因此
,
于是,即,所以,
综上不存在符合题目条件的直线.