Question

如图，在四面体A−BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．

（Ⅰ）证明：PQ∥平面BCD；

（Ⅱ）若二面角C−BM−D的大小为60°，求ÐBDC的大小．

Answer 1

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

   【答案解析】

（Ⅰ）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接OP，OF，FQ．

因为AQ=3QC，所以

QF∥AD，且QF=AD

因为O，P分别为BD，BM的中点，所以OP是△BDM的中位线，所以

OP∥DM，且OP=DM

又点M是AD的中点，所以

OP∥AD，且OP=AD

从而

OP∥FQ，且OP=FQ

所以四边形OPQF是平行四边形，故

PQ∥OF

又PQË平面BCD，OFÌ平面BCD，所以

PQ∥平面BCD．

   （Ⅱ）作CG^BD于点G，作GH^BM于点HG，连接CH，则CH^BM，所以ÐCHG为二面角的平面角。设ÐBDC=θ．

   在Rt△BCD中，

CD=BDcos θ=2cos θ，

CG=CDsin θ=2cos θsin θ，

BG=BCsin θ=2sin²θ

   在Rt△BDM中，

HG==

    在Rt△CHG中，

tanÐCHG=

    所以

tan q=

    从而

q=60°

即ÐBDC=60°．