Question

甲、乙两企业，2000年的销售量均为p（2000年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为

p

2

（n²-n+2），乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多

p

2n-1

．
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在那一年出现？是说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=

p

2

（n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表达式；n≥2时，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表达式；
（2）利用（1）中a_n，b_n的表达式，代入求解，分类计算可得，某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，一企业将被另一企业收购．

解答：解：设甲企业前n年的总销量为S_n，第n年的销量为a_n，乙企业第n年的销售量b_n，根据题意，得S_n=

p

2

（n²-n+2），b_n=

p

2n-1

（n≥2）
a₁=S₂-S₁=p，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p（n-1）
故a_n=

p，n=1 p(n-1)，n≥2

，
∵b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1），
∴b_n=p+

p

2

+…+

p

2n-1

=（2-

1

2n-1

）p．
（2）∵a_n≥p，b_n≥p，∴a_n＞

1

2

b_n＞

1

5

b_n，
故甲企业不可能被乙企业收购，
当n=1时，a₁=b₁=p，乙企业不可能被甲企业收购，
当n≥2时，
∴

1

5

a_n＞b_n?

1

5

p(n-1)＞(2-

1

2n-1

)p，
∴n＞11-

5

2n-1

，
则当n=2，3时，经验证n＜11-

5

2n-1

，
当4≤n≤10时，有11-

5

2n-1

＞10，
∴n＜11-

5

2n-1

当n≥11时，11-

5

2n-1

＜11，所以必有n＞11-

5

2n-1

，
故当n=11时，即2010乙企业可能被甲企业收购．

点评：本题考查数列的通项，考查叠加法，考查利用数列知识解决实际问题，确定数列的通项是关键．