Question

已知函数f(x)=-ax(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a=1，函数在区间（0，+）上为增函数，求整数m的最大值.

Answer 1

(1)当时，在上为增函数；当时，在为减函数，在为增函数；(2)的最大值为1．

试题分析：(1)讨论函数的单调性首先注意明确函数的定义域，由于该函数是超越函数与一次函数的和构成的，所以考虑用导数，先求出函数的导数得，由指数函数的性质可知要确定导数的正负须按和分类讨论,确定导数的符号而求出函数的单调区间；(2)函数在区间（0，+）上为增函数在恒成立，分离参数m，从而将所求问题转化为求函数的最值问题，构造新函数，再用导数研究此函数的最小值即可；注意所求的m为整数这一特性．
试题解析：(1)定义域为，，
当时，，所以在上为增函数；      2分
当时，由得，且当时，，
当时，
所以在为减函数，在为增函数．     6分
(2)当时，，
若在区间上为增函数，
则在恒成立，
即在恒成立           8分
令，；
，；令，
可知，，
又当时，
所以函数在只有一个零点，设为，即，
且；    9分
由上可知当时，即；当时，即，
所以，，有最小值，    10分
把代入上式可得，又因为，所以，
又恒成立，所以，又因为为整数，
所以，所以整数的最大值为1．       12分