Question

【题目】已知函数，若函数有两个零点，.

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：当时，；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析.

【解析】分析：

详解：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性以及函数零点的个数确定的范围即可；
（2）求出函数的导数，求出，结合函数的单调性求出是函数的极大值点，也是最大值点，从而证明结论．

（3）证明：由题意得是两根，∴①，②，

可得，要证明，只需证，即

令，所以只需证在成立即可，设，利用导数研究其性质，可证成立.

设，

所以在是增函数，∴

即成立.

（1），定义域为，

当时，，∴在递增，不可能有两个零点，

当时，时，，时，

所以是函数的极大值点，也是最大值点

又因为时，，时，，

要使有两个零点，只需，

∴

（2）在是减函数，∵，

∴存在唯一的，使，即，所以，

即

当时，，当时，，

∴是函数的极大值点，也是最大值点

∴

在上，∵，∴

∴，即成立

（3）证明：由题意得是两根，∴①，②，

①②得，，得，

要证明，只需证，即证

所以只需证，即

令，所以只需证在成立即可

设，

所以在是增函数，∴

即成立.