Question

定义为有限项数列的波动强度.
（Ⅰ）当时，求；
（Ⅱ）若数列满足，求证：；
（Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列

Answer 1

（Ⅰ）解：      ………………1分
.            ………………3分
（Ⅱ）证明：因为，
，
所以. ……………4分
因为，所以，或.
若，则
当时，上式，
当时，上式，
当时，上式，
即当时，.  ……………………6分
若，
则，
.（同前）
所以，当时，成立.    …………………7分
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）
下面来证明当时，为递减数列.
（ⅰ）证明.
若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.
若，则，与已知矛盾.
所以，.                                      ………………………9分
（ⅱ）设，证明.
若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.
若，则，与已知矛盾.
所以，.                                             …………………11分
（ⅲ）设，证明.
若，考查数列，
则由前面推理可得，与矛盾.
所以，.                                            …………………12分
综上，得证.
同理可证：当时，有为递增数列.                 ……………………13分

略