Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点与其短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴，轴分别交于点，，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线，使得点平分线段？若存在，求出直线的方程，若不存在请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析: (1)由正三角形的高与边长的关系可求出,再由点 在椭圆上,可求出 的值,从而求出椭圆方程; (2)假设存在,由直线方程可求出 点的坐标,由已知条件可求出 点的坐标,设联立直线与椭圆的方程,消去 ,得到关于 的一元二次方程,由韦达定理可求出 的表达式以及直线 的斜率,联立直线与椭圆方程,可求出的表达式,进而求出的表达式, 由平分线段，求出的值,得出直线方程.

试题解析:（1）由题意知，即，，即,

∵在椭圆上，∴，

所以椭圆方程为.

（2）存在

设，∵

∴,

∴①

∴，

联立 ∴②

∴

∴

∴

若平分线段，则

即，， ∴

∵ 把①，②代入，得

所以直线的方程为或

点睛:本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.第一问求椭圆方程很容易,大部分学生能做对; 在第二问中,假设存在, 当点平分线段,点为的中点,利用中点坐标公式,求出的值,得出直线方程.注意本题涉及的点线位置关系比较复杂,容易弄错.