Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率e=

3

5

．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的端点坐标与离心率，求出a、b，即可得椭圆的标准方程．
（II）根据三角形的面积，Q点应在与OP平行的直线上，利用直线与椭圆方程求出Q点的坐标满足的条件，再分析求满足条件的整数点．

解答：解：（I）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
根据题意b=4，

c

a

=

3

5

，∵a²=b²+c²
∴a=5，c=3
∴椭圆的方程是

x2

25

+

y2

16

=1
（II）|OP|=2

2

，直线OP的方程是y=x，
设与直线OP平行的直线方程为y=x+m，
∵S_△OPQ=4，∴d=

|m|

2

=2

2

⇒m=±4
∴Q点在直线 y=x±4上，
当m=4时，

y=x+4 x2 25 + y2 16 ＜1

⇒41x²+200x＜0⇒-

200

41

＜x＜0，
∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分别对应有四个整数点；
当m=-4时，由对称性，同理满足条件的点Q也有四个，
综上，存在满足条件的整数点有8个．

点评：本题借助存在性问题考查直线与圆锥曲线的位置关系．存在性问题的解题思路是：假设存在，根据条件求解，若解出，说明存在；若得出矛盾或解不出，则说明不存在．