Question

【题目】求所有正整数，使得给定序列，，中的每一项都是平方数。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

解法1 由已知可得，.

则.

故.

当时，有.

当时，有.

当时，.

由于与互质，则与是一组本原勾股数.

因此，存在互质的正整数，且，

使得（1）

（2）

第（1）种情形中，由式①、②得. ④

由上式知为奇数，则为偶数，为奇数.

于是，由式②及，知. ⑤

再利用式④得.

则， ⑥

其中，是相邻的两个整数.

由于它们互质，则.

于是，.

若，则.

此式具有的形式，已证明它没有满足的整数解，故，矛盾.

若，则.

此式具有的形式，也已证明它没有满足的整数解，故.

于是，.

由式④得.

由式②知，从而，.

第（2）种情形下，没有满足条件的正整数解.

综上，找到了关于的所有选择

.

当时，得到一个各项均为平方数的周期序列：4,4,0,4,4,0，….

当时，得到一个各项均为平方数4的常数序列：4,4,4,4，….

当时，，

，

，

，

，

……

由此可猜测此序列是斐波那契数列中奇数项的平方的4倍，即

.

如果是斐波那契数列，易知及，

故为平方数.

因此，，

即为平方数.

这说明符合题设要求.

综上，所有的取值为1,3,9.

解法2 由，，

得.

于是，是偶数，又是平方数.

故可设.

从而，.

则.

故，

.

由是平方数，可设. ①

当时，.

此时，，

，

.

从而，数列的周期数列：

4,4,0,4,4,0，….

因此，满足条件.

当时，.

从而，数列为常数数列； 4,4,4，….

因此，满足条件.

当时，有式①知， ②

.

故 .

从而，，即式②等号成立.

于是.此时，.

以下同解法1.