Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点.

（1）证明：点F在线段上移动时，为直角三角形；

（2）若F为线段的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质可得：，再利用线面垂直的性质定理判定定理及其正方形的性质可得：平面，进而证明平面，即可得出结论.

（2）由题意，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令，易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，可得：.利用向量夹角公式即可得出.

（1）证明：因为，E为线段的中点，所以，

因为底面，平面，所以，

又因为底面为正方形，所以，

又，所以平面，

∵平面，∴，

因为，所以平面，

因为平面，所以，

所以点F在线段上移动时，为直角三角形.

（2）由题意，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，令，

则，，，，

易知平面的一个法向量为；

设平面的法向量为，则，可得：，，

取，

所以，

由图可知：二面角的平面角为钝角，因此余弦值为.