Question

在矩形ABCD中，已知AD=6，AB=2，E、F为AD的两个三等分点，AC和BF交于点G，△BEG的外接圆为⊙H．以DA所在直线为x轴，以DA中点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以F、E为焦点，DC和AB所在直线为准线的椭圆的方程．
（2）求⊙H的方程．
（3）设点P（0，b），过点P作直线与⊙H交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标和准线方程求得c和的值，进而求得a和b，则椭圆方程可得．
（2）根据题意可知A，B，C，F的坐标，进而求得AC和BF的直线方程，联立求得焦点G的坐标，进而求得EG，BF的斜率，根据二者的乘积为-1判断出EG⊥BF，进而求得圆心和半径，进而求得圆的标准方程．
（3）设M点的坐标为（x，y），则N点的坐标可知，代入圆的方程联立求得8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，判断出点M在此直线上，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离小于或等于整理求得b的范围．
解答：解；（1）由已知，设椭圆方程为，
由于焦点E的坐标为（1，0），它对应的准线方程为x=3，
所以c=1，，于是a²=3，b²=2，
所以所求的椭圆方程为：．

（2）由题意可知A（3，0），B（3，2），C（-3，2），F（-1，0）．
所以直线AC和直线BF的方程分别为：x+3y-3=0，x-2y+1=0，
由解得所以G点的坐标为．
所以k_EG=-2，，
因为k_EG•k_BF=-1，所以EG⊥BF，
所以⊙H的圆心为BE中点H（2，1），半径为，
所以⊙H方程为（x-2）²+（y-1）²=2．

（3）设M点的坐标为（x，y），则N点的坐标为（2x，2y-b），
因为点M，N均在⊙H上，所以，
由②-①×4，得8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，
所以点M（x，y）在直线8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0，
又因为点M（x，y）在⊙H上，
所以圆心H（2，1）到直线8x+4（1-b）y+b²+2b-9=0的距离，
即，
整理，得（b-1）⁴-12（b-1）²-28≤0，即[（b-1）²+2][（b-1）²-14]≤0，
所以，故b的取值范围为．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．有效地考查考生分析问题、解决问题的能力．