Question

下列命题：
①若

a

与

b

共线，则存在唯一的实数λ，使

b

=λ

a

；
②空间中，向量

a

、

b

、

c

共面，则它们所在直线也共面；
③P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面ABC上的射影．若PA、PB、PC两两垂直，则O是△ABC垂心．
④若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点．

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
上述命题中正确的命题是______．

Answer 1

①中的

a

≠

0

这一条件缺少，于是①错．
对于②，因为向量可以任意平移，可知②错；
③当PA，PB，PC两两互相垂直时，则PA⊥平面PBC，则PA⊥BC，
又由PO⊥底面ABC，则PO⊥BC，进而BC⊥平面PAO，即AO⊥BC，
同理可证BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心，即③对；
④中A、B、C、M四点共面．
等式

OM

=

1

3

OA

+

1

3

OB

+

1

3

OC

两边同加

MO

，
则

1

3

（

MO

+

OA

）+

1

3

（

MO

+

OB

）+

1

3

（

MO

+

OC

）=

0

，
即

MA

+

MB

+

MC

=

0

，

MA

=-（

MB

+

MC

）则

MA

、

MB

、

MC

共面，
又M是三个有向线段的公共点，
则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．
故④是真命题．
故答案为：③④