Question

在一种智力有奖竞猜游戏中，每个参加者可以回答两个问题（题1和题2），且对两个问题可以按自己选择的顺序进行作答，但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题．假设：答对题i（i=1，2），就得到奖金a_i元，且答对题i的概率为
P_i（i=1，2），并且两次作答不会相互影响．
（I）当a₁=200元，P₁=0.6，a₂=100元，P₂=0.8时，某人选择先回答题1，设获得奖金为ξ，求ξ的分布列和Eξ；
（II）若a₁=2a₂，P₁+P₂=1，试问：选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多？

Answer 1

分析：（I）根据当a₁=200元，P₁=0.6，a₂=100元，P₂=0.8时，得到对应的变量的概率，写出分布列．
（II）选择先回答题1，得到的奖金为ξ；选择先回答题2，得到的奖金为η，表示出这两个变量的期望，把两个期望值进行比较，讨论在概率取值不同的情况下，对应的奖金情况．

解答：解：（I）根据所给的条件得到分布列：

ξ	0	200	300
P	0.4	0.12	0.48

…（3分）
∴Eξ=0×0.4+200×0.12+300×0.48=168…（5分）
（II）设选择先回答题1，得到的奖金为ξ；选择先回答题2，得到的奖金为η
则有Eξ=a₁p₁（1-p₂）+（a₁+a₂）p₁p₂
Eη=a₂p₂（1-p₁）+（a₁+a₂）p₁p₂…（8分）
根据题意可知：
Eξ-Eη=a₁p₁（1-p₂）+（a₁+a₂）p₁p₂-a₂p₂（1-p₁）+（a₁+a₂）p₁p₂=a₁（p₁²+2p₁-1）
当p₁²+2p₁-1=0时，p1=-1±

2

（负号舍去）…（10分）
∴当

2

-1＜p1＜1时，p₁²+2p₁-1＞0，Eξ＞Eη，先答题1可能得到的奖金更高；…（12分）
当P1=

2

-1时，p₁²+2p₁-1=0，Eξ=Eη，先答题1或题2可能得到的奖金一样多；
当0＜P₁＜

2

-1时，p₁²+2p₁-1＜0，Eξ＜Eη，先答题2可能得到的奖金更多．…（14分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是看出变量对应的概率和期望，利用做差方法进行比较．