Question

【题目】函数f（x）=axn（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为 ．
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）+lnx≤0；
（3）求证：f（x）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：n=2时，f（x）=ax2（1﹣x），

∴f′（x）=ax（2﹣3x），

令f′（x）=0得：x=0或x= ，

∵n=2时，f（x）的极大值为 ，

故a＞0，且f（ ）=a × = ，解得：a=1

（2）证明：要证f（x）+lnx≤0，即证xn（1﹣x）+lnx≤0，

设g（x）=xn（1﹣x）+lnx，定义域是（0，+∞），

则g′（x）= ，

∵x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，

x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，

∴g（x）的最大值是g（1）=0，∴g（x）≤0成立，命题得证

（3）证明：∵f（x）=xn（1﹣x），∴f′（x）=nxn﹣1﹣（n+1）xn=（n+1）xn﹣1（ ﹣x），

显然，f（x）在x= 处取得最大值，f（ ）= ，

因此只需证： ＜ ，即证： ＜ ，

两边取对数，原式ln ＜﹣ ，

设t= （0＜t＜1），则n= ， =1﹣t，

因此只需证：lnt＜t﹣1即可，

令ω（t）=lnt﹣t+1，∵0＜t＜1，

∴ω′（t）= ﹣1＞0，ω（t）在（0，1）递增，

故ω（t）＜ω（1）=0成立，

即lnt＜t﹣1，结论成立．

【解析】（1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为 ，得到f（ ）=a × = ，解出即可；（2）问题转化为证xn（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=xn（1﹣x）+lnx，根据函数的单调性证明即可；（3）求出f（x）的最大值，问题转化为证明： ＜ ，通过取对数结合换元思想以及函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．