Question

现有A，B，C，D四个盛满水的长方体容器，A，B的底面积均为a²，高分别为a，b，C，D的底面积均为b²，高分别为a，b（a≠b）．现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有无必胜的把握？若有的话，有几种方案？

Answer 1

分析：分3种情况：：（1）若先取A、B，后者只能取C、D；（2）若先取A、C，后者只能取B、D；（3）若先取A、D，后者只能取B、C；分别作差比较大小可得．

解答：解：（1）若先取A、B，后者只能取C、D，
因为（a³+a²b）-（ab²+b³）=a²（a+b）-b²（a+b）=（a+b）²（a-b），
显然（a+b）²＞0，而a，b的大小不定，所以（a+b）²（a-b）正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（2）若先取A、C，后者只能取B、D，
因为（a³+b²a）-（ba²+b³）=a（a²+b²）-b（a²+b²）=（a²+b²）（a-b），
显然a²+b²＞0，而a，b的大小不定，所以（a²+b²）（a-b）正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（3）若先取A、D，后者只能取B、C，
因为（a³+b³）-（a²b+ab²）=（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）=（a+b）（a-b）²，
又a≠b，a＞0，b＞0，所以（a+b）（a-b）²＞0，即a³+b³＞a²b+ab²，
故先取A、D是唯一必胜的方案．

点评：本题考查不等式比较大小，涉及分类讨论的思想，属基础题．